2020-06-09

高等线性代数选讲 部分整理

似乎在矩阵部分出现了网页版显示异常…凑合能看,需要pdf版的请找作者

Chapter 2

  1. 定义点积
  2. 正交补空间

Chapter 3

  1. $\beta$投影到$\alpha$
  2. CS定理 $\rightarrow$ 三角不等式
  3. 投影矩阵
  4. GS正交化?
  5. 酉阵保内积保长度
  6. 酉阵特征值与行列式均是模长为1的复数
  7. Hermite阵可以拆分成实部和虚部
  8. Hermite型为实数,可由此定义正定的Hermite阵
  9. Hermite阵的特征值都是实数
  10. A可酉相似对角化等价于A是复正规矩阵

Chapter 4

  1. A正规等价于其酉相似矩阵正规
  2. 复正规矩阵的谱定理
  3. 实正交阵构成矩阵群O(n) special orthogonal构成矩阵群SO(n) 表示行列式为1的实正交阵
  4. SO(3)和R3上的旋转变换一一对应

Chapter 5 快速傅里叶变换

  1. $$ \left{
    \begin{array}
    {\frac{\partial}{\partial t}(x,t)=\alpha\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t)}\
    {u(x,0)=f(x)}\
    {u(0,t)=u(1,t)=0}
    \end{array} \right. $$

  2. $f(x)=\sin(k\pi x)$时上式解为$\sin(k\pi x)e^{-\alpha k^2 \pi^2t}$

  3. $f(x)=\sum_{k=1}^mc_ksin(k\pi x)$时上式解为$\sum_{k=1}^mc_k\sin(k\pi x)e^{-\alpha k^2\pi^2t}$

  4. 傅里叶级数展开后用复数形式表示

    $f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}a_ne^{2\pi inx}dx$

    其中$a_n=\int_0^1 f(x)e^{-2\pi inx}dx$称为$f(x)$的Fourier系数

  5. $e_n=(e^{2\pi i0},e^{\frac{2\pi in}{N}},e^{\frac{4\pi in}{N}},…,e^{\frac{2\pi in}{N}(N-1)})$

    ​ $=(1,w_N^n,(w_N^2)^n,…(w_N^{N-1})^n)$

    ​ $(0\leq n\leq N-1)$

    $e_0,e_1,…,e_{N-1}$是$C^N$的正交基且模长为$\sqrt{N}$

    $\forall y\in C^N \exists!(c_0,c_1,…,c_{N-1}) \in C^N$使得$y=c_0e_0+c_1e_1+…+c_{N-1}e_{N-1}$

    事实上$c_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}y_ke^{-2\pi in\frac{k}{N}}$可以看作离散的Riemann和

  6. $\forall y \in C^N,y=F_Nc$有唯一解$c=F_N^{-1}y=\frac1N \bar{F_N}y$

    $y\rightarrow c=F_N^{-1}y$成为离散Fourier变换

  7. FFT是快速计算DFT的方法,原理是利用$F_N$和$F_{\frac N2}$之间的关系

    $N=2n$则:

    $F_N=$$$\left[ \begin{array} II_n&D_n\ I_n&-D_n\end{array}\right]$$$$\left[ \begin{array} FF_n&0\ 0&F_n\end{array}\right]P_N$$

    $P_N$是$(1,1),(2,3),…,(n,2n-1),(n+1,2),(n+2,4),…,(2n,2n)$位置为1的置换阵

    $D_N=$$$\left[ \begin{array} 11\ &w_N\&&w_N^2\&&&…\&&&&w_N^{n-1}\end{array}\right]$$

Chapter 6 循环矩阵 Schur定理 C-H定理

  1. $P=$$$\left[ \begin{array} 10&1\ &0&1\&&0&1\&&&…\&&&&1\1&&&&0\end{array}\right]$$

    则$P$的特征值为$1,w_n,w_n^2,…,w_n^{n-1}$

    $F_n^{-1}PF_n=$$$\left[ \begin{array} 11&\ &w_n\&&w_n^2\&&&…\&&&&w_n^{n-1}\end{array}\right]$$

    $C=c_0I+c_1P_…+c_{n-1}P^{n-1}$

    令$f(x)=c_0+c_1x+…+c_{n-1}x^{n-1}$

    $F_n^{-1}CF_n=$$$\left[ \begin{array} 1f(1)&\ &f(w_n)\&&f(w_n^2)\&&&…\&&&&f(w_n^{n-1})\end{array}\right]$$

  2. (Schur)设A$\in M_n(C)$则$\exists$可逆阵P使得$P^{-1}AP$是上三角阵

    P可取作酉阵

  3. $A\in M_n(C),f(x)\in C[x],f(A)=0,\lambda$是$A$的特征值

    则$f(\lambda)=0$

Chapter 7 C-H定理 最小多项式

  1. 设$A \in M_n(C),f(x)=\det(xI_n-A)$则$f(A)=0$

  2. $f(x)=\det(xI_n-A)=(x-\lambda_1)^{m_1}(x-\lambda_2)^{m_2}…(x-\lambda_k)^{m_k}$

    则最小多项式$d(x)=(x-\lambda_1)^{e_1}(x-\lambda_2)^{e_2}…(x-\lambda_k)^{e_k}$

  3. $N^n=0$特征多项式和最小多项式均是$x^n=0$

  4. $J_n(\lambda)$的特征多项式和最小多项式均是$(x-\lambda)^n$

  5. 分块主对角线矩阵的特征多项式是各方块的特征多项式乘积

    最小多项式是各方块的最小多项式的最小公倍式

chapter 9 Jordan标准型唯一性 初等因子 根子空间

  1. #$J_k(\lambda)=r(A-\lambda)^{k-1}-2r(A-\lambda)^k+r(A-\lambda)^{k+1}$

  2. $r(A-\lambda)^l-r(A-\lambda)^{l+1}=$#$J_{\geq l+1}(\lambda)$

    取$l=0$可得$\lambda$的几何重数$=A$的Jordan标准型$J$中属于$\lambda$的Jordan块的个数

  3. $A$的特征多项式等于$(\lambda-\lambda_1)^{e_1}(\lambda-\lambda_2)^{e_2}…(\lambda-\lambda_k)^{e_k}$

    最小多项式等于$(\lambda-\lambda_1)^{e_{11}}(\lambda-\lambda_2)^{e_{21}}…(\lambda-\lambda_k)^{e_{k1}}$

  4. 满足$(A-\lambda I)^kv=0$的$v$称为广义特征向量

    广义特征子空间称为根子空间

    $\dim N(A-\lambda_iI)^{\infty}=e_i(等于\lambda_i的代数重数)$

    $N(A-\lambda_iI)^\infty=N(A-\lambda_i)^{e_{i1}}$

Chapter 10 Jordan标准型的计算 矩阵的指数

  1. 计算出$r(A-\lambda_iI)^l$并计算块的个数 $\dim N(A-\lambda_iI)$
  2. 找到$A$的属于$\lambda_i$的特征向量,且在$N(A-\lambda_i)$中
  3. 算满足$(A-\lambda_i)^{k-1}\alpha_k=\alpha_1$的$\alpha_k$

Chapter 11 矩阵指数

  1. $D=$$$\left[ \begin{array} 1\lambda_1&\ &\lambda_2\&&\lambda_3\&&&…\&&&&\lambda_n\end{array}\right]$$

    则$e^D=$$$\left[ \begin{array} 1e^{\lambda_1}&\ &e^{\lambda_2}\&&e^{\lambda_3}\&&&…\&&&&e^{\lambda_n}\end{array}\right]$$

    对块对角阵同理

  2. $AB=BA$时有$e^{A+B}=e^Ae^B$

  3. 对于一般矩阵$A$将其化为jordan标准型即可求解

  4. $A=$$$\left[ \begin{array} 10&\theta\ -\theta&0\end{array}\right]$$

    则$e^A=$$$\left[ \begin{array} 1\cos\theta&\sin\theta\ -\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]$$

  5. 特征值的最大模长定义为$A$的谱半径

    谱半径与收敛半径进行比较判断是否收敛,也可对$A$除以谱半径

  6. $A$的特征值是$\lambda_1…\lambda_n$

    则$e^A$的特征值是$e^{\lambda_1},…,e^{\lambda_n}$

    推论$\det(e^A)=e^{trA}$

Chapter 12 一阶常系数线性齐次微分方程组

  1. $L=\frac{\rm d}{\rm dt}-A$

    $L\pmb v(t)=0$ 齐次且线性 故解为线性空间 且解空间维数为n

  2. $A\pmb \alpha=\lambda\pmb\alpha$ 则$e^{\lambda t}\pmb\alpha$是解 故$A$可对角化的时候找到解空间的一组基

  3. $A$不可对角化的时候Jordan链$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},…,\pmb{\alpha_k}$缺失了$\pmb{\alpha_2},…,\pmb{\alpha_k}$为初始值的解

    考虑

    $e^{\lambda t}\pmb{\alpha_1}$

    $e^{\lambda t}\pmb{\alpha_2}+te^{\lambda t}\pmb{\alpha_1}$

    $e^{\lambda t}\pmb{\alpha_3}+te^{\lambda t}\pmb{\alpha_2}+\frac{t^2}{2!}e^{\lambda t}\pmb{\alpha_1}$

    $…$

    $e^{\lambda t}\pmb{\alpha_k}+te^{\lambda t}\pmb{\alpha_{k-1}}+\frac{t^2}{2!}e^{\lambda t}\pmb{\alpha_{k-2}}+…+\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}e^{\lambda t}\pmb{\alpha_1}$

    是原方程的k个解

  4. $\frac{\rm d}{\rm dt}e^{At}=Ae^{At}$

    记$$e^{At}=(\pmb{r_1(t)},\pmb{r_2(t)},…,\pmb{r_n(t)})$$

    则原方程的解空间的基为$\pmb{r_1(t)},\pmb{r_2(t)},…,\pmb{r_n(t)}$初始值为$\pmb{e_1},\pmb{e_2},…,\pmb{e_n}$

    通解是$e^{At}\pmb c$ 初始值是$\pmb c$